矩阵指数
引言：
矩阵可以以一种完全不同的方式用于解决线性一阶常微分方程组。回想一下，简单的线性一阶常微分方程 ，其中 是常数，具有一般解 ，其中 是常数。因此，自然而然地可以问，我们是否可以定义一个矩阵指数函数 ，其中 是常数矩阵，使得线性系统 的解为 。
齐次系统：
我们将看到，可以定义一个矩阵指数 ，使得
是齐次系统 的解。这里常数乘以矩阵， 是 的常数矩阵， 是 的任意常数列矩阵。注意在式（1）中，矩阵 后乘 ，因为我们希望 是一个 的矩阵。虽然完整地发展矩阵指数的含义和理论需要对矩阵代数有深入的了解，但一种定义 的方法是受到标量指数函数 的幂级数表示的启发：
在(2)中的级数对于所有的收敛。利用这个级数，将1替换为单位矩阵，常数替换为一个的常数矩阵，我们得到了一个关于矩阵的定义。
定义8.4.1 矩阵指数
对于任意的矩阵，
可以证明，在(3)中给出的级数对于每个的值都收敛到一个矩阵。此外，，，以此类推。
示例1 矩阵指数运算（使用(3)）
计算矩阵
的指数 。
解法：从各个幂次
我们从(3)中可以看出
根据(2)和 和 的定义，最后一个矩阵的第一行和第二行的幂级数分别表示 和 ，因此我们有
示例1中的矩阵是一个对角矩阵的例子。一般来说，如果一个矩阵的主对角线以外的所有元素都为零，那么它就是一个对角矩阵，即
因此，如果是任意的对角矩阵，根据示例1可知
的导数 矩阵指数函数的导数类似于标量指数函数的导数性质。为了证明
我们逐项对(3)进行求导：
由于(4)，我们现在可以证明(1)是的解，对于每个常数向量：
是一个基本矩阵。如果我们用符号表示矩阵指数，那么(4)等价于矩阵微分方程（参见第8.3节的(3)）。此外，根据定义8.4.1，我们立即得到，因此。事实证明，这两个性质足以推断是系统的一个基本矩阵。
非齐次系统 我们在第2.3节的中看到，线性一阶常微分方程的一般解可以表示为
对于线性一阶非齐次微分方程组，其中是一个的常数矩阵，可以证明其一般解为
由于矩阵指数是一个基本矩阵，它总是非奇异的，并且。在实际计算中，可以通过将替换为来从得到。
计算
当然，可以始终使用(3)中给出的的定义来计算。然而，(3)的实际效用受到了中的项是的幂级数的限制。出于对简单和熟悉事物的自然渴望，我们尝试识别这些级数是否定义了一个闭合形式的函数。幸运的是，有许多计算的替代方法；下面的讨论将展示如何使用拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的使用 我们在(5)中看到是的一个解。实际上，由于，是初始值问题的一个解
如果，那么(6)的拉普拉斯变换是
将最后一个方程乘以意味着。换句话说， 或者
例2 矩阵指数 —使用(7)
使用拉普拉斯变换计算，其中
解: 首先我们计算矩阵并找到它的逆矩阵：
然后我们将最后一个矩阵的条目分解为部分分式：
由(7)可知，(8)的拉普拉斯逆变换给出了所需的结果，
在2023年最后一天完成了微分方程基本内容的更新
后续再拿出一章内容更新下面的内容：
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