定义 3.7设为域上矩阵.的行向量集称为其行向量组.的行向量组张成的的子空间称为的行 (子) 空间,记为,行子空间的维数,即行向量组的秩,称为的行秩,记为. 同样定义的列(子)空间,列秩.
按定义,意味着的行向量组的极大线性无关组由个行向量构成; 也就是说,有个行向量,它们线性无关,而其余行均可由它们线性表出.
定理 3.10行的初等变换不改变矩阵的行秩, 也不改变列秩. 更进一步, 行的初等变换不改变矩阵任意列间的线性相关性,即若矩阵的第列原是线性无关 (或相关)的常数乘以矩阵, 则行初等变换后这些列仍是线性无关 (或相关) 的.
证明(1) 先证明行的初等变换不改变矩阵
的行秩. 记的行为,,经行的初等变换后变为的行. 显然向量组与可以相互线性表出,这只要分别考查每一种行初等变换即可：交换两行；某行乘以非常数；一行的常数倍加到另一行上去. 由此即知此两向量组等价,即和的行空间相等,行秩相等.
(2)为了书写简单,我们不妨只证明的第列的线性相关性不随行的初等变换改变. 对于
相当于
对的行进行初等变换对应着对此方程组的初等变换,这些变换不改变方程组的解集
即不影响
是否只能全为,亦即不改变
的线性相关性.
定理 3.11矩阵的秩、行秩和列秩三者相等.
证明矩阵经行的初等变换可变为标准阶梯形阵,由定理 3.10 知与的秩、 行秩、列秩分别相等. 由的特别形式,显然有
故
系 1当且仅当的行向量组线性相关.
注记定理 3.10 的第二部分提供了求向量组的极大线性无关组的极好方法,即把中向量作为列向量排成矩阵,对作行的初等变换化为阶梯形矩阵,易定出的列向量组的极大无关组,设为第列,则的第亦为其列向量组 (即) 的极大无关组.
值得注意的是,若矩阵的秩为,其阶子式
则的第行是线性无关的,是的行向量组的极大线性无关组; 同理,的第列也是线性无关的. 事实上,子方阵
的第行是线性无关的,而的第行不过是它们的接长.
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